SoSe2021
= Messungen oder Resultate
= eines der möglichen Resultate
=Gesamtheit aller Elementarereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1 (entspricht 100%)
Zufällige geworfene Augenzahl bei einem Würfel.
Die Augenzahl 1-6 bei einem 6-seitigen Würfel.
Schreibweisen: \[P(A~oder~B) = P(A \cup B)\] \[P(A~und~B) = P(A \cap B)\]
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
25 Elementarereignisse ergeben in der Summe 9:
27 Elementarereignisse ergeben in der Summe 10:
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
Theoretische Werte: P(Summe 9) = 0.1157 und P(Summe 10) = 0.1250
calc_prob <- function(n = 100) {
sum3 <- vector("integer", n)
true9<- vector("logical", n)
true10 <- vector("logical", n)
for (i in 1:n) {
sum3 <- sum(sample(1:6,3,replace = T))
true9[i] <- ifelse(sum3 == 9, T, F)
true10[i] <- ifelse(sum3 == 10, T, F)
}
out <- c(
prob9 = round(sum(true9)/n, 4),
prob10 = round(sum(true10)/n, 4)
)
return(out)
}calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.30 0.05
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.25 0.00
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.1 0.1
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.19
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.06
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.115 0.125
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.116 0.124
Was ist wahrscheinlicher, in vier Würfen eines einzelnen Würfels mindestens eine ‘6’ zu würfeln (Variante A) ODER in 24 Würfen eines Würfelpaars mindestens eine ‘Doppelsechs’ zu erzielen (Variante B)?
Wahrscheinlichkeit in 4 Würfen mindestens eine 6 zu erzielen → lass uns Regel 5 und dann 4 anwenden:
Wahrscheinlichkeit in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu erzielen → Regel 5 und 4:
calc_prob2 <- function(n = 100) {
successA <- vector("logical", n) # Variante A
for (i in 1:n) {
rdraw <- sample(1:6, 4, replace = TRUE)
successA[i] <- ifelse(6 %in% rdraw, TRUE, FALSE)
}
probsA <- round(sum(successA)/n, 4)
successB <- vector("logical", n) # Variante B
for (i in 1:n) {
ind_success <- vector("logical", 24)
for (j in 1:24) {
rdraw <- sample(1:6, 2, replace = TRUE)
ind_success[j] <- ifelse(all(rdraw == c(6,6)), TRUE, FALSE)
}
successB[i] <- any(ind_success)
}
probsB <- round(sum(successB)/n, 4)
out <- c(probsA = probsA, probsB = probsB) # Ausgabe
return(out)
}Theoretische Werte: P(Variante A) = 0.518 und P(Variante B) = 0.491
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.35
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.55 0.70
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.55
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.48 0.47
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.56 0.42
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.518 0.491
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.519 0.495
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Die Wirksamkeit des Corona Schnelltests:
Typische Kreuztabelle aus der Sensitivität, Spezifität und Prävalenz:
| Überblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | Prävalenz | 100000 | |
| Davon positives Testergebnis | Sensitivität | ||
| Davon negatives Testergebnis | Spezifizität |
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
→ gesucht wird \(P(A|B)\), also \(P(infiziert|positiv)\)
03:00
Berechne nun mithilfe der Bayesschen Formel die Wahrscheinlichkeit infiziert zu sein wenn das Testergebnis positiv ist → Wie hoch ist \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\)?
Und wie hoch ist \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\) wenn die Prävalenz nicht 0.5% sondern 10% beträgt?
Und wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit bei einem negativen Testergebnis und einer Prävalenz von 10% doch akut infiziert zu sein?
Einsatz der Bayesschen Regel:
\[P(infiziert|positiv) = \frac{P(infiziert)*P(positiv|infiziert)}{P(infiziert)*P(positiv|infiziert) + P(gesund)*P(positiv|gesund)}\]
# known p_inf <- 50/100000 # prevalence p_pos_inf <- 0.8 # sensitivity p_neg_ges <- 0.98 # specificity # derived p_ges <- 1 - p_inf p_pos_ges <- 1 - p_neg_ges p_inf_pos <- (p_inf*p_pos_inf) / (p_inf*p_pos_inf + p_ges*p_pos_ges) p_inf_pos*100
[1] 1.96
# known p_inf <- 10000/100000 # prevalence p_pos_inf <- 0.8 # sensitivity p_neg_ges <- 0.98 # specificity # derived p_ges <- 1 - p_inf p_pos_ges <- 1 - p_neg_ges p_inf_pos <- (p_inf*p_pos_inf) / (p_inf*p_pos_inf + p_ges*p_pos_ges) p_inf_pos*100
[1] 81.6
| Überblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | 50 | 99950 | 100000 |
| Davon positives Testergebnis | 40 | 2000 | 2040 |
| Davon negatives Testergebnis | 10 | 97950 | 97960 |
Von insgesamt 2040 positiven Tests sind nur 40 krank, das entspricht etwa 2%.
| Überblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | 10000 | 90000 | 100000 |
| Davon positives Testergebnis | 8000 | 1800 | 9800 |
| Davon negatives Testergebnis | 2000 | 88200 | 90200 |
Von insgesamt 9800 positiven Tests sind 8000 infiziert, das entspricht etwa 81.6%.
Hier werden unterschiedliche ‘Odd’ Angaben genutzt:
p
p_A <- 0.1 p_B <- 0.2 # relative risk: p_A/p_B
[1] 0.5
# odd ratio: (p_A / (1-p_A)) / (p_B / (1-p_B))
[1] 0.444
Wahrscheinlichkeitstabelle:
| Spielgewinn | P |
|---|---|
| 0 | 0.3 |
| 0.10€ | 0.4 |
| 0.25€ | 0.2 |
| 1.00€ | 0.1 |
Berechnung:
E_x <- 0*0.3 + 0.4*0.1 + 0.2*0.25 + 0.1*1 E_x
[1] 0.19
Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de

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Image on title and end slide: Section of an infrared satellite image showing the Larsen C ice shelf on the Antarctic Peninsula - USGS/NASA Landsat: A Crack of Light in the Polar Dark, Landsat 8 - TIRS, June 17, 2017 (under CC0 license)