SoSe2021
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Wahrscheinlichkeit
Ein paar Begriffe vorab
Zufallsereignis
= Messungen oder Resultate
Elementarereignis
= eines der möglichen Resultate
Ereignisraum \(\Omega\)
=Gesamtheit aller Elementarereignisse mit der Wahrscheinlichkeit 1 (entspricht 100%)
Beispiel
Zufällige geworfene Augenzahl bei einem Würfel.
Beispiel
Die Augenzahl 1-6 bei einem 6-seitigen Würfel.
Beispiel
- Beim Würfel ist \(\Omega\) = {1,2,3,4,5,6} → 6 Elementarereignisse.
- Die Wahrscheinlichkeit eines dieser Elementarereignisse zu würfeln ist 1, für ein unmögliches Ereignis beträgt sie 0.
- Bei 2 Würfel enthält der Ereignisraum 6 * 6 = 36 Elementarereignisse:
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung
Schreibweisen: \[P(A~oder~B) = P(A \cup B)\] \[P(A~und~B) = P(A \cap B)\]
- Regel 1: Die Wahrscheinlichkeitssumme \(P(_{\Omega})\) aller sich gegenseitig ausschließenden Ereignisse addiert sich zu 1.
- Regel 2: Allgemeine Additionsregel für beliebige Ereignisse A und B, wobei P(A und B) subtrahiert werden muss, um Dopplung zu vermeiden.
- Regel 3: Spezielle Additionsregel bei sich ausschließenden Ereignissen A und B.
- Regel 4: Subtraktionsregel → Subtraktion der komplementären Wahrscheinlichkeit von 1 um P(A) zu bestimmen.
- Regel 5: Spezielle Multiplikationsregel wenn Ereignisse A und B voneinander unabhängig sind.
- Regel 6: Multiplikationsregel bei abhängigen Ereignissen schließt bedingte Wahrscheinlichkeit mit ein.
Anwendungsbeispiel 1: Das Problem von Galilei
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
- Der Ereignisraum umfasst insgesamt 216 Elementarereignisse (6 * 6 * 6 = 216)
- Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Elementarereignisses ist somit 1/216 = 0.00462963
- Wie viele Elementarereignisses ergeben in der Summe 9 bzw. 10?
Das Problem von Galilei
Summe 9
25 Elementarereignisse ergeben in der Summe 9:
Das Problem von Galilei
Summe 10
27 Elementarereignisse ergeben in der Summe 10:
Das Problem von Galilei
Theoretischer Ansatz
Wie groß sind die Wahrscheinlichkeiten, mit 3 Würfeln eine Summe von 9 oder 10 zu erhalten?
- Der Ereignisraum umfasst insgesamt 216 Elementarereignisse (6 * 6 * 6 = 216)
- Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Elementarereignisses ist somit 1/216 = 0.00463
- Wie viele Elementarereignisses ergeben in der Summe 9 bzw. 10? 25 bzw. 27
- Lass uns Regel 3 (Spezielle Additionsregel bei unabhängigen Ereignissen) anwenden:
- P(Summe 9) = 1/216 + … + 1/216 = 25/216 = 0.1157
- P(Summe 10) = 1/216 + … + 1/216 = 27/216 = 0.1250
Das Problem von Galilei
Empirischer Ansatz
Theoretische Werte: P(Summe 9) = 0.1157 und P(Summe 10) = 0.1250
Funktion
calc_prob <- function(n = 100) {
sum3 <- vector("integer", n)
true9<- vector("logical", n)
true10 <- vector("logical", n)
for (i in 1:n) {
sum3 <- sum(sample(1:6,3,replace = T))
true9[i] <- ifelse(sum3 == 9, T, F)
true10[i] <- ifelse(sum3 == 10, T, F)
}
out <- c(
prob9 = round(sum(true9)/n, 4),
prob10 = round(sum(true10)/n, 4)
)
return(out)
}Simulation
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.30 0.05
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.25 0.00
calc_prob(n = 20)
prob9 prob10 0.1 0.1
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.19
calc_prob(n = 100)
prob9 prob10 0.13 0.06
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.115 0.125
calc_prob(n = 100000)
prob9 prob10 0.116 0.124
Anwendungsbeispiel 2: De-Méré-Paradoxon
Theorie
Was ist wahrscheinlicher, in vier Würfen eines einzelnen Würfels mindestens eine ‘6’ zu würfeln (Variante A) ODER in 24 Würfen eines Würfelpaars mindestens eine ‘Doppelsechs’ zu erzielen (Variante B)?
Variante A
Wahrscheinlichkeit in 4 Würfen mindestens eine 6 zu erzielen → lass uns Regel 5 und dann 4 anwenden:
- P(viermal nicht 6) = (5/6) * (5/6) * (5/6) * (5/6) = 0.482
- P(mindestens eine 6) = 1 - 0.482 = 0.518
Variante B
Wahrscheinlichkeit in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu erzielen → Regel 5 und 4:
- P(keine Doppelsechs in 24 Würfen) = (35/36)^24 = 0.509
- P(mindestens eine Doppelsechs) = 1 - 0.509 = 0.491
De-Méré-Paradoxon
Empirischer Ansatz 1
Funktion
calc_prob2 <- function(n = 100) {
successA <- vector("logical", n) # Variante A
for (i in 1:n) {
rdraw <- sample(1:6, 4, replace = TRUE)
successA[i] <- ifelse(6 %in% rdraw, TRUE, FALSE)
}
probsA <- round(sum(successA)/n, 4)
successB <- vector("logical", n) # Variante B
for (i in 1:n) {
ind_success <- vector("logical", 24)
for (j in 1:24) {
rdraw <- sample(1:6, 2, replace = TRUE)
ind_success[j] <- ifelse(all(rdraw == c(6,6)), TRUE, FALSE)
}
successB[i] <- any(ind_success)
}
probsB <- round(sum(successB)/n, 4)
out <- c(probsA = probsA, probsB = probsB) # Ausgabe
return(out)
}De-Méré-Paradoxon
Empirischer Ansatz 2
Theoretische Werte: P(Variante A) = 0.518 und P(Variante B) = 0.491
Simulation
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.35
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.55 0.70
calc_prob2(n = 20)
probsA probsB 0.40 0.55
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.48 0.47
calc_prob2(n = 100)
probsA probsB 0.56 0.42
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.518 0.491
calc_prob2(n = 100000)
probsA probsB 0.519 0.495
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B ist die Wahrscheinlichkeit, dass B eintreten wird, vorausgesetzt, dass A bereits eingetreten ist.
Mögliche Fragestellungen
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
- eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
- ein Individuum auf einem Bild wirklich zu Art A gehört, wenn die automatisierte Bildklassifizierung es dorthin einordnet?
- ein/e Student/in in ein Masterprogramm aufgenommen wird UND ein Zimmer im Studentenwohnheim bekommt?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 1
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 2
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 3
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 4
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Beispiel Doppelsechs 5
Angenommen, wir haben im ersten Wurf eine 6 geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Wurf ebenfalls eine 6 zu werfen? Was ist P(6|6)?
Bedingte Wahrscheinlichkeit und die Bayessche Formel
Der Satz von Bayes
- Der Satz von Bayes, vom englischen Mathematiker Thomas Bayes entwickelt und 1763 in An essay towards solving a problem in the doctrine of chances veröffentlicht, gehört zu den wichtigsten Sätzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung.
- Er ermöglicht die bedingte Wahrscheinlichkeit zweier Ereignisse A und B zu bestimmen, falls eine der beiden bedingten Wahrscheinlichkeiten bereits bekannt ist.
- Er wird auch Bayessche Formel oder Bayes-Theorem genannt.
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Die Wirksamkeit des Corona Schnelltests:
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Begriffe
Vorab ein paar Begriffserklärungen
- Prävalenz: Häufigkeit einer Infektion, Krankheit oder eines Symptoms in einer Population zu einem bestimmten Zeitpunkt. Berechnet sich aus dem Quotienten der Anzahl der betroffenen Individuen und der Gesamtzahl aller Individuen dieser Population.
- Sensitivität: Anteil richtig positiver Ergebnisse, wenn die Untersuchten tatsächlich infiziert bzw. krank sind.
- Spezifizität: Anteil der richtig negativen Testergebnissen unter allen gesunden Untersuchten.
Typische Kreuztabelle aus der Sensitivität, Spezifität und Prävalenz:
| Ãœberblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | Prävalenz | 100000 | |
| Davon positives Testergebnis | Sensitivität | ||
| Davon negatives Testergebnis | Spezifizität |
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Frage
Ausgangssituation
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine getestete Person bei einem positiven Coronavirus-Schnelltest tatsächlich infiziert ist?
→ gesucht wird \(P(A|B)\), also \(P(infiziert|positiv)\)
Angenommen
- Prävalenz ist 0.5% (5 von 10000 Einwohner sind infiziert)
- Sensitivität ist 80%
- Spezifizität ist 98%
Folgende Wahrscheinlichkeiten lassen sich daraus ableiten
- \(P(A) = P(infiziert)\) = 0.0005 → Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Einwohner eine Corona-Infektion hat
- \(P(B|A) = P(positiv|infiziert)\) = 0.8 → Wahrscheinlichkeit eines positiven Tests, falls die untersuchte Person infiziert ist
- \(P(nichtB|nichtA) = P(negativ|gesund)\) = 0.98
- \(P(nichtA) = P(gesund)\) = 1 - \(P(infiziert)\) = 0.995
- \(P(B|nichtA) = P(positiv|gesund)\) = 1- \(P(negativ|gesund)\) = 0.02
Your turn …
03:00
Quiz 1
Berechne nun mithilfe der Bayesschen Formel die Wahrscheinlichkeit infiziert zu sein wenn das Testergebnis positiv ist → Wie hoch ist \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\)?
Quiz 2
Und wie hoch ist \(P(A|B)\) bzw. \(P(infiziert|positiv)\) wenn die Prävalenz nicht 0.5% sondern 10% beträgt?
Quiz 3
Und wie hoch wäre die Wahrscheinlichkeit bei einem negativen Testergebnis und einer Prävalenz von 10% doch akut infiziert zu sein?
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Berechnung
Einsatz der Bayesschen Regel:
\[P(infiziert|positiv) = \frac{P(infiziert)*P(positiv|infiziert)}{P(infiziert)*P(positiv|infiziert) + P(gesund)*P(positiv|gesund)}\]
Prävalenz 0.5%
# known p_inf <- 50/100000 # prevalence p_pos_inf <- 0.8 # sensitivity p_neg_ges <- 0.98 # specificity # derived p_ges <- 1 - p_inf p_pos_ges <- 1 - p_neg_ges p_inf_pos <- (p_inf*p_pos_inf) / (p_inf*p_pos_inf + p_ges*p_pos_ges) p_inf_pos*100
[1] 1.96
Prävalenz 10%
# known p_inf <- 10000/100000 # prevalence p_pos_inf <- 0.8 # sensitivity p_neg_ges <- 0.98 # specificity # derived p_ges <- 1 - p_inf p_pos_ges <- 1 - p_neg_ges p_inf_pos <- (p_inf*p_pos_inf) / (p_inf*p_pos_inf + p_ges*p_pos_ges) p_inf_pos*100
[1] 81.6
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
Kreuztabelle
Mithilfe einer Kreuztabelle berechnet (bei Prävalenz von 0.5%)
| Ãœberblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | 50 | 99950 | 100000 |
| Davon positives Testergebnis | 40 | 2000 | 2040 |
| Davon negatives Testergebnis | 10 | 97950 | 97960 |
Von insgesamt 2040 positiven Tests sind nur 40 krank, das entspricht etwa 2%.
Mithilfe einer Kreuztabelle berechnet (bei Prävalenz von 10%)
| Ãœberblick | infiziert | gesund | Gesamtzahl |
|---|---|---|---|
| Anzahl der untersuchten Personen | 10000 | 90000 | 100000 |
| Davon positives Testergebnis | 8000 | 1800 | 9800 |
| Davon negatives Testergebnis | 2000 | 88200 | 90200 |
Von insgesamt 9800 positiven Tests sind 8000 infiziert, das entspricht etwa 81.6%.
Anwendungsbeispiel: Medizinische Diagnostik
RKI Infografik
Wahrscheinlichkeit vs. ‘Odds’
- Anstatt der Wahrscheinlichkeiten werden häufig auch Odds (im deutschen ‘Chancen’) betrachtet (z.B. in Sportwetten, Medizin)
- Odds beschreiben das Verhältnis zwischen der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis eintritt, und der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nicht eintritt: \(Odds (O) = \frac{p(A)}{p(a-A)}\)
- Beispiel:
- Die Odds einen Sechser zu werfen sind O = (1/6)/(5/6) = 1/5 ⇒ die Chancen liegen also bei 1 zu 5.
- Wenn p(A) klein ist, dann liegen p und O nahe bei einander (da 1-p = 1); wenn p(A) größer ist, z.B. 0.99, dann ist O wesentlich größer: O = 0.99/0.01 = 99
Sportwetten
Hier werden unterschiedliche ‘Odd’ Angaben genutzt:
p
‘Odd Ratios’ vs. relatives Risiko
- Beides wird häufig in medizinischen Studien als Maß für den Zusammenhang zwischen einer Behandlung und einem Ergebnis herangezogen.
- Der Odd Ratio (OR) (das Chancenverhältnis) wird definiert als das Verhältnis des Odd Wertes eines Ereignis A in der experimentellen Gruppe (welche z.B. einem Risiko ausgesetzt ist) und des Odd Wertes B in der Kontrollgruppe (ohne diese Faktor).
- Das relative Risiko repräsentiert den Quotient zwischen den Wahrscheinlichkeiten beider Ereignisse.
‘Odd Ratios’ vs. relatives Risiko
Beispiel
Medizinisches Beispiel: Lohnt sich der Wechsel einer Behandlung?
- Im Rahmen einer klinischen Studie soll eine bestehende Behandlung mit einer neuen Behandlung verglichen werden.
- Dafür soll die Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses, wenn ein Patient die neue Behandlung erhält (P(A)), mit der Wahrscheinlichkeit eines schlechten Ergebnisses, wenn ein Patient die bestehende Behandlung erhält (P(B)), verglichen werden
- Angenommen: P(A) = 0.1 und P(B) = 0.2
Berechnung
p_A <- 0.1 p_B <- 0.2 # relative risk: p_A/p_B
[1] 0.5
# odd ratio: (p_A / (1-p_A)) / (p_B / (1-p_B))
[1] 0.444
- → Die Chancen (und damit die Wahrscheinlichkeit) eines schlechten Ergebnisses werden durch die Einnahme der neuen Behandlung reduziert. Oder anders ausgedrückt, die Wahrscheinlichkeit verringert sich um den Faktor 0.444 bzw. um ca. 56 %.
- → Das Risiko eines schlechten Ergebnisses unter der neuen Behandlung ist halb so hoch ist wie unter der bestehenden Behandlung.
Erwartungswert
- Zur Erinnerung: Arithmetisches Mittel = Summe aller beobachteten Werte / Anzahl der Werte.
- Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt hingegen die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt (bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments).
- Er berechnet sich aus der Summe jedes möglichen Ereignisses gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dass es eintreten wird: \(E(x) = \sum x_i*p_i\)
Beispiel: Spielautomat → Wie groß ist der durchschnittliche Gewinn?
Wahrscheinlichkeitstabelle:
| Spielgewinn | P |
|---|---|
| 0 | 0.3 |
| 0.10€ | 0.4 |
| 0.25€ | 0.2 |
| 1.00€ | 0.1 |
Berechnung:
E_x <- 0*0.3 + 0.4*0.1 + 0.2*0.25 + 0.1*1 E_x
[1] 0.19
- → Der zu erwartende Gewinn (Erwartungswert E(x)) beträgt 11 Cent.
- → Somit verdient der Automatenbetreiber 81 Cent pro Spiel.
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Objektivistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Klassischer Ansatz (LaPlace, Bernoulli) → aus dem Glücksspiel entwickelt
- Quotient aus der Zahl der günstigen und der Zahl aller möglichen Fälle.
- Ein einzelner Versuch hat endlich viele, gleich wahrscheinliche Ausgänge (der ideale Würfel).
- Elementarereignisse besitzen hierbei gleiche A-priori-Eintrittswahrscheinlichkeiten.
Statistische bzw. empirische Wahrscheinlichkeit → Frequentisten
- Beruht auf der gemessenen Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses.
- \(P\) entspricht dem Grenzwert der relativen Häufigkeiten des Auftretens des Ereignisses: \(lim(rel.Häufigkeit)=\frac{lim(Anzahl~Ereignis)}{Stichprobenzahl}\) (denkt an die Würfelexperimente mit 20 vs. 100000 Versuchen)
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Subjektivistische Wahrscheinlichkeitsauffassung
Bayes’scher Wahrscheinlichkeitsbegriff
- Darf nicht mit dem gleichfalls auf Thomas Bayes zurückgehenden Satz von Bayes verwechselt werden.
- Bei einmaligen Zufallsereignissen kann man deren Eintrittswahrscheinlichkeit nur schätzen, nicht berechnen.
- Zentrale Gesichtspunkte bei der Schätzung sind Expertenwissen, Erfahrung und Intuition.
- Spielt v.a. im Alltag eine große Rolle
Wir fassen zusammen
Wie wird Wahrscheinlichkeit definiert?
Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff
Axiome von Kolmogorow
- Definiert die mathematischen Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit.
- Wurde in den 1930ern von Andrei Kolmogorov entwickelt und repräsentiert die maßgebende Definition in der heutigen Mathematik.
- Es gibt 3 Axiome:
- Axiom 1: Die Wahrscheinlichkeit ist nicht negativ und liegt zwischen 0 und 1 → \(0 ≤ P(A) ≤ 1\)
- Axiom 2: Das Ereignis, das alle möglichen Ereignisse eines Zufallsexperimentes vereinigt hat die Wahrscheinlichkeit 1 (\(P(\Omega) = 1\) → Regel 1).
- Axiom 3: Die Wahrscheinlichkeiten zweier sich ausschließender Ereignisse können ohne Abzug addiert werden (= spezielle Additionsregel).
Wir fassen zusammen
Was ist die Wahrscheinlichkeitstheorie?
- Die Wahrscheinlichkeitstheorie oder Probabilistik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das aus der Formalisierung, der Modellierung und der Untersuchung von Zufallsgeschehen hervorgegangen ist.
- Gemeinsam mit der mathematischen Statistik, die anhand von Beobachtungen zufälliger Vorgänge Aussagen über das zugrunde liegende Modell trifft, bildet sie das mathematische Teilgebiet der Stochastik.
- Zentralen Objekte der Wahrscheinlichkeitstheorie sind zufällige Ereignisse, Zufallsvariablen und stochastische Prozesse.
Fragen?
Bei weiteren Fragen: saskia.otto(at)uni-hamburg.de
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Image on title and end slide: Section of an infrared satellite image showing the Larsen C ice shelf on the Antarctic Peninsula - USGS/NASA Landsat: A Crack of Light in the Polar Dark, Landsat 8 - TIRS, June 17, 2017 (under CC0 license)